Class 11th

38. L.H.S$=\frac{cos4x+cos3x+cos2x}{sin4x+sin3x+sin2x.}$

$=\frac{(cos4x+cos2x)+cos3x}{(sin4x+sin2x)+sin3x}.$

$=\frac{2cos\left(\frac{4x+2x}{2}\right)cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right)+cos3x}{2sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right)cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right)sin3x}.$

$=\frac{2cos\frac{6x}{2}cos\frac{2x}{2}+cos3x}{2sin\frac{6x}{2}cos\frac{2x}{2}+sin3x}$

$=\frac{2cos3xcosx+cos3x}{2sin3xcosx+3x}$

$=\frac{cos3x}{sin3x}*\frac{(2cosx+1)}{(2cosx+1)}$

$=cot3x=R.H.S$

37. $=\frac{sinx-sin3x}{si{n}^{2}x-co{s}^{2}x}$

$=\frac{2cos\left(\frac{x+3x}{2}\right)sin\frac{x-3x}{2}}{-\left(co{s}^{2}x-si{n}^{2}x\right)}$

$=\frac{2cos\frac{4x}{2}sin\left(-\frac{2x}{2}\right)}{-cos2x}\left[?cos2x=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x\right]$

$=-\frac{2cos2xsinx}{-cos2x}[?sin(-x)=-sinx]$

= 2 sin x

= R.H.S.

36. $=\frac{sinx+sin3x}{cosx+cos3x}$

$=\frac{2\left(\frac{x+3x}{2}\right)cos\left(\frac{x-3x}{2}\right)}{2cos\left(\frac{x+3x}{2}\right)cos\left(\frac{x-3x}{2}\right)}$

$=\frac{sin\frac{4x}{2}}{cos\frac{4x}{2}}$

$=\frac{sin2x}{cos2x}$

$=tan2x=$R.H.S

35. L.H.S: = $L.H. S:=\frac{sinx-siny}{cosx+cosy}$

$=\frac{2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}}{2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}}$

$=\frac{sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}$

$=tan\left(\frac{x-y}{2}\right)=R.H.S.$ = R.H.S.

34.$=\frac{sin5x+sin3x}{cos5x+cos3x.}$

$=\frac{2sin\left(\frac{5x+3x}{2}\right)cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right)}{2cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right)}$

$=\frac{sin\frac{8x}{2}cos\frac{2x}{2}}{cos\frac{8x}{2}cos\frac{2x}{2}}$

$=\frac{sin4x}{cos4x}=tan4x=$R.H.S

33.$=\frac{cos9x-cos5x}{sin17x-sin3x}$

$=\frac{-2sin\left(\frac{9x+5x}{2}\right)sin\left(\frac{9x-5x}{2}\right)}{2cos\left(\frac{17x+3x}{2}\right)sin\left(\frac{17x-3x}{2}\right)}$

$=\frac{-sin\frac{14x}{2}sin\frac{4x}{2}}{cos\frac{20x}{2}sin\frac{14x}{2}}=\frac{-sin7xsin2x}{cos10xsin7x}=\frac{-sin2x}{cos10x}$

= R.H.S

32. L.H.S$=cot4x(sin5x+sin3x)$

$=cot4x\left[2sin\frac{8x}{2}cos\frac{2x}{2}\right]$

$=\frac{cos4x}{4x}*2sin4xcosx$

$=2·cos4x·cosx$

R.H.S$=cotx[sin5x-sin3x]$

$=cotx\left[2cos\frac{8x}{2}·sin\frac{2x}{2}\right]$

$=\frac{cosx}{sinx}·2cos4xsinx$

$=2·cos4x·cosx.$

Hence, L.H.S. = R.H.S.

31. L.H.S. = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x

Using sin A + sin B = 2 sin A + B/2 cos A - B/2  we have,

L.H.S. = (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x

$=2sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right)cos\left(\frac{2x-6x}{2}\right)+2sin4x.$

$=2sin\frac{8x}{2}cos\left(-\frac{4x}{2}\right)+2sin4x.$

$=2sin4xcos2x+2sin4x[?cos(-x)=x]$

$=2sin4x[cos2x+1]$

We know that,

$cos2x=2co{s}^{2}x-1$

$\Rightarrow cos2x+1=2co{s}^{2}x$

Hence,

L.H.S$=2sin4x\left(2co{s}^{2}x\right)$

$=4co{s}^{2}xsin4x$

= R.H.S

30. L.H.S $L.H.S=co{s}^{2}2x-co{s}^{2}6x$

$=(cos2x+cos6x)(cos2x-cos6x)\left[?a^2-b^2=(a-b)(a+b)\right]$

L.H.S = $L.H.S=\left[2cos\left(\frac{2x+6x}{2}\right)cos\left(\frac{2x-6x}{2}\right)\right]\left[-2sin\frac{2x+6x}{2}sin\left(\frac{2x-6x}{2}\right)\right]$

$=\left[2cos\frac{8x}{2}cos\left(-\frac{4x}{2}\right)\right]\left[-2sin\left(\frac{8x}{2}\right)sin\left(-\frac{4x}{2}\right)\right]$

$=2cos4xcos2x*2sin4x·sin2x[?cos(-x)=cosx;sin(-x)=-sinx]$

$=2sin4xcos4x*2sin2xcos2x$

As sin 2θ = 2 sinθ cosθ.

L.H.S. = sin (2*4x) sin(2*2x)

= sin 8x sin 4x

= R.H.S.

29. L.H.S  $L.H.S=si{n}^{2}6x-si{n}^{2}4x.$

$=(sin6x+sin4x)(sin6x-sin4x).\left[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\right]$

So, L.H.S $L.H.S.=\left(2sin\left(\frac{6x+4x}{2}\right)cos\left(\frac{6x-4x}{2}\right)\right)\left(2cos\left(\frac{6x+4x}{2}\right)sin\left(\frac{6x-4x}{2}\right)\right)$

$=\left(2sin\frac{10x}{2}cos\frac{2x}{2}\right)\left(2cos\frac{10x}{2}sin\frac{2x}{2}\right)$

$=2sin5xcosx\cdot 2cos5xsinx$

$=2sin5xcos5x\cdot 2csinxcosx.$

As $sin2\theta =2sin\theta cos\theta$ we can write.

$L.H.S =sin\left(2*5x\right)=sin(2*x)$

$=sin10xsin2x= R.H.S.$ R.H.S