Maths

57. L.H.S. = $\frac{(sin7x+sin5x)+(sin9x+sin3x)}{(cos7x+cos5x)+(cos9x+cos3x)}.$

Using sin A + sin B = 2 sin $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}$

cos A + cos B = 2 cos $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}.$

56. L.H.S = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x.

= (sin x + sin 7x) + (sin 3x + sin 5x)

Using,

sin A + sin B = 2 sin $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}.$

L.H.S. = 2. Sin $\frac{x+7x}{2}$ cos $\frac{x-7x}{2}$ + 2 sin $\frac{3x+5x}{2}$ cos $\frac{3x-5x}{2}$

= 2 sin $\frac{8x}{2}$ cos $\left(-\frac{6x}{2}\right)$ + 2 sin $\frac{8x}{2}$ cos $\left(-\frac{2x}{2}\right)$

= 2 sin 4x cos 3x + 2 sin 4x cosx.[ $?$ cos (-x) = cosx]

= 2 sin 4x[cos 3x + cosx]

Using cos A + cos B = 2 cos $\frac{\mathrm{A\; +}B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}.$

So, L.H.S. = 2 sin 4x $\left[2·cos\frac{3x+x}{2}cos\frac{3x-x}{2}\right].$

= 2 sin 4x $\left[2·cos\frac{4x}{2}·cos\frac{2x}{2}\right]$

= 4 sin 4x. cos 2x cosx = R.H.S.

55. L.H.S = (cos x-cos y)² + (sin x- sin y)²

= ${\left[-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\right]}^2+{\left[2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\right]}^2$

= 4 sin² $\left(\frac{x+y}{2}\right)$ sin² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$ + 4 cos² $\left(\frac{x+y}{2}\right)$ sin² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$

= 4 sin² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$ $\left[si{n}^2\left(\frac{x+y}{2}\right)+co{s}^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\right]$

= 4 $si{n}^2\left(\frac{x-y}{2}\right)$ . [ $?$ sin²∅ + cos²∅= 1]

= R.H.S.

54. L.H.S. = (cos x + cos y)² + (sin x- sin y)²

Using,

cos A + cos B = 2 cos $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}$

sin A - sin B = 2 cos $\frac{A+B}{2}$ sin $\frac{A-B}{2.}$

L.H.S. = ${\left[2\cdot cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\right]}^2+{\left[2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\right]}^2$ .

= 4. cos² $\left(\frac{x+y}{2}\right)$ cos² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$ . + 4 cos² $\left(\frac{x+y}{2}\right)$ sin² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$ .

= 4 cos²$\left(\frac{x+y}{2}\right)$ $\left[co{s}^2\left(\frac{x-y}{2}\right)+si{n}^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\right]$

= 4 cos²$\left(\frac{x+y}{2}\right)$ [ $?$ cos²θ+ sin²qθ  = 1].

= R.H.S.

53. L.H.S = (sin 3x + sin x) + sin x + (cos 3x - cosx) cosx.

Using

Sin A + sin B = 2 sin $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}$

cos A - cos B = -2 sin $\frac{A+B}{2}$ sin $\frac{A-B}{2}$ .

L.H.S. = $\left(2sin\frac{3x+x}{2}cos\frac{3x-x}{2}\right)$ sin x + $\left(-2sin\frac{3x+x}{2}sin\frac{3x-x}{2}\right)$ cosx

= 2 sin $\frac{4x}{2}$ cos $\frac{2x}{2}$ sin x -2 sin $\frac{4x}{2}$ sin $\frac{2x}{2}$ cosx.

= 2 sin 2xcosx sin x -2 sin 2x sin xcosx

= 0 = R.H.S.

52. L.H.S. = 2 cos $\frac{\pi }{13}$ cos $\frac{9\pi }{13}$ + cos $\frac{3\pi }{13}$ + cos $\frac{5\pi }{13}$ =∂ .

= 2 cos $\frac{\pi }{13}$ cos $\frac{9\pi }{13}$ + 2 cos $\begin{array}{l}\left(\frac{3\pi }{13}+\frac{5\pi }{13}\right)\\ \overline{2}\end{array}$ cos $\frac{\left(\frac{3\pi }{13}-\frac{5\pi }{13}\right)}{2}$

$\left[?cosA+cosB=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\right]$

= 2 cos $\frac{\pi }{13}$ cos $\frac{9\pi }{13}$ + 2. cos $\left(\frac{8\pi /13}{2}\right)$ cos $\left(\frac{-2\pi /13}{2}\right)$

= 2 cos $\frac{\pi }{13}$ cos $\frac{9\pi }{13}$ + 2 cos $\frac{4\pi }{13}$ cos $\frac{\pi }{13}$ [ $?$ cos (x) = cosx].

= 2 cos $\frac{\pi }{13}$ $\left[cos\frac{9\pi }{13}+cos\frac{4\pi }{13}\right].$

= 2 cos $\frac{\pi }{13}\left[2\cdot cos\left(\frac{\frac{9\pi }{13}+\frac{4\pi }{13}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{9\pi }{13}-\frac{4\pi }{13}}{2}\right)\right]$

= 2 cos $\frac{\pi }{13}$ $\left[2·cos\left(\frac{13\pi /13}{2}\right)cos\left(\frac{5\pi /13}{2}\right)\right]$

= 2 cos $\frac{\pi }{3}$ * 2 *cos $\frac{\pi }{2}$ * cos $\frac{5\pi }{26}$ .

= 2 cos $\frac{\pi }{2}$ 2* 0*cos $\frac{5\pi }{26}$

= 0

= R.H.S.

51. We have,

sinx + sin 3x + sin 5x = 0.

(sinx + sin 5x) + sin 3x = 0.

Using sin A + sin B = 2 sin $\frac{A+B}{2}$ cos $\frac{A-B}{2}$ .

2 sin $\left(\frac{x+5x}{2}\right)$ cos $\left(\frac{x-5x}{2}\right)$ + sin 3x = 0.

2 sin $\frac{6x}{2}$ cos$\frac{-4x}{2}$  + sin 3x = 0.

2 sin 3xcos (-2x) + sin 3x = 0.

sin 3x [2 cos 2x + 1] = 0 [ $?$ cos (-x) = cosx].

sin 3x = 0 or 2 cos 2x + 1 = 0.

3x = nπ, n∈z. or cos 2x = $\frac{-1}{2}$ = -cos $\frac{\pi }{3}$ = cos  π -$\frac{\pi }{3}$= cos $\frac{2\pi }{3}$

x= $\frac{n\pi }{3}$ , n∈z or 2x = 2nπ± $\frac{2\pi }{3}$ .

x = nπ±$\frac{\pi }{3}$ , n∈z.

50. We have,

sec² 2x = 1 tan 2x

1 + tan² 2x = 1 tan 2x [ sec²x = 1 + tan²x]

tan² 2x + tan 2x = 0.

tan 2x (tan 2x + 1) = 0.

tan 2x = 0         or         tan 2x + 1 = 0.

2x = nπ, x∈z or tan 2x = -1 = -tan $\frac{\pi }{4}$ = tan π-$\frac{\pi }{4}$  = tan $\frac{3\pi }{4}.$

x= $\frac{n\pi }{2}$ , n∈z or 2x = nπ + $\frac{3\pi }{4}$ , n∈z.

x = $\frac{n\pi }{2}+\frac{3\pi }{8},$ n∈z

53. Kindly go through the solution

49. We have,

sin 2x + cosx = 0.

2 sin cosx + cosx = 0 ( $?$ sin 2x = 2 sin xcosx)

cosx (2 sin x + 1) = 0.

cosx = 0 or 2 sinx + 1 = 0.

x = (2n + 1) $\frac{\pi }{2}$, n∈z or sin x = $\frac{1}{2}$ = -sin $\frac{\pi }{6}$ = sin  π + $\frac{\pi }{6}$= sin $\frac{7\pi }{6}.$

x = (2n + 1) $\frac{\pi }{2}$, x∈z or x= nπ + (-1)ⁿ $\frac{7\pi }{6},$ n∈z.