Page 40 - Exemplar Solution - Updates, Questions & Discussions on Exemplar Solution at Shiksha

Exemplar Solution Class 11th

**If the letters of the word ALGORITHM are arranged at random in a row, what is the probability that the letters GOR must remain together as a unit?**

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Asked by Payal Gupta

S

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

a year ago

This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l} W o r d A L G O R I T H M h a s 9 l e t t e r s . \\ I f G O R r e m a i n t o g e t h e r, t h e n i t w i l l r e m a i n t o g e t h e r . \\ ∴ N u m b e r o f l e t t e r s = A L G O R I T H M = 6 + 1 = 7 \\ N u m b e r o f w o r d s = 7! \\ a n d t h e t o t a l n u m b e r o f w o r d s f r o m A L G O R I T H M = 9! \\ S o, t h e r e q u i r e d p r o b a b i l i t y = \frac{7!}{9!} = \frac{7!}{9.8.7!} = \frac{1}{72} \\ H e n c e, t h e r e q u i r e d p r o b a b i l i t y = \frac{1}{72} . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The equation of the line through the intersection of the lines $2 x – 3 y = 0$ and $4 x – 5 y = 2$ and

Column C1Column C2

through the point (2, 1) is (i) $2 x – y = 4$

perpendicular to the line $x + 2 y + 1 = 0$ is (ii) $x + y – 5 = 0$

parallel to the line $3 x – 4 y + 5 = 0$ is (iii) $x – y – 1 = 0$

equally inclined to the axes is (iv) $3 x – 4 y – 1 = 0$

4 Views|Posted a year ago

Asked by Vishal Baghel

S

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

Sol:

$\begin{array}{l} (a) G i v e n ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? ? ? ? ? a n d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i) \\ ? ? ? ? ? ? E q u a t i o n s ? ? o f ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? e q n . (i) ? ? a n d ? ? (i i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i i) \\ ? ? ? ? ? ? I f ? ? e q n . (i i i) ? ? p a s s e s ? ? t h r o u g h ? ? (2, 1), ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 \times 2 ? 3 \times 1) + k (4 \times 2 ? 5 \times 1 ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4 ? 3) + k (8 ? 5 ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 + k (8 ? 7) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = ? 1 \\ ? ? ? ? ? S o, ? ? t h e ? ? r e q u i r e d ? ? e q u a t i o n ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) ? 1 (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? 3 y ? 4 x + 5 y + 2 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x + 2 y + 2 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ? 1 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? H e n c e, ? ? (a) ? (i i i) \\ (b) E q u a t i o n ? ? o f ? ? a n y ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? t h e ? ? point ? ? o f ? ? intersection ? ? o f ? ? t h e ? ? l i n e \\ ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? a n d ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? (2 + 4 k) x + (? 3 ? 5 k) y ? 2 k = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e = \frac{? (2 + 4 k)}{? 3 ? 5 k} = \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e ? ? o f ? ? t h e ? ? g i v e n ? ? l i n e ? ? x + 2 y + 1 = 0 ? ? i s ? ? ? \frac{1}{2} . \\ ? ? ? ? ? ? ? ? I f ? ? t h e y ? ? a r e ? ? p e r p e n d i c u l a r ? ? t o ? ? e a c h ? ? o t h e r ? ? t h e n \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{1}{2} (\frac{2 + 4 k}{3 + 5 k}) = ? 1 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{1 + 2 k}{3 + 5 k} = 1 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 + 2 k = 3 + 5 k \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 k = ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = \frac{? 2}{3} \\ ? ? ? ? ? ? P u t t i n g ? ? t h e ? ? v a l u e ? ? o f ? ? k ? ? i n ? ? e q n . (i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) ? \frac{2}{3} (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 x ? 9 y ? 8 x + 10 y + 4 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x + y + 4 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? y = 4 \\ ? ? ? ? ? ? H e n c e, ? ? (b) ? (i) \end{array}$

$\begin{array}{l} (c) G i v e n ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? ? ? ? ? a n d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i) \\ ? ? ? ? ? ? E q u a t i o n s ? ? o f ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? e q n . (i) ? ? a n d ? ? (i i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? (2 + 4 k) x + (? 3 ? 5 k) y ? 2 k = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? S l o p e = \frac{? (2 + 4 k)}{? 3 ? 5 k} = \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e ? ? o f ? ? t h e ? ? g i v e n ? ? l i n e ? ? 3 x ? 4 y + 5 = 0 ? ? i s ? ? \frac{3}{4} . \\ ? ? ? ? ? ? ? ? I f ? ? t h e ? ? t w o ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? p a r a l l e l, ? ? t h e n \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} = \frac{3}{4} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 + 16 k = 9 + 15 k \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 k ? 15 k = 9 ? 8 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = 1 \\ ? ? ? ? ? S o, ? ? t h e ? ? r e q u i r e d ? ? e q u a t i o n ? ? o f ? ? l i n e ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The equation of the line through the intersection of the lines $2 x – 3 y = 0$ and $4 x – 5 y = 2$ and

Column C1Column C2

through the point (2, 1) is (i) $2 x – y = 4$

perpendicular to the line $x + 2 y + 1 = 0$ is (ii) $x + y – 5 = 0$

parallel to the line $3 x – 4 y + 5 = 0$ is (iii) $x – y – 1 = 0$

equally inclined to the axes is (iv) $3 x – 4 y – 1 = 0$

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Asked by Vishal Baghel

S

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

Sol:

$\begin{array}{l} (a) G i v e n ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? ? ? ? ? a n d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i) \\ ? ? ? ? ? ? E q u a t i o n s ? ? o f ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? e q n . (i) ? ? a n d ? ? (i i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i i) \\ ? ? ? ? ? ? I f ? ? e q n . (i i i) ? ? p a s s e s ? ? t h r o u g h ? ? (2, 1), ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 \times 2 ? 3 \times 1) + k (4 \times 2 ? 5 \times 1 ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4 ? 3) + k (8 ? 5 ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 + k (8 ? 7) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = ? 1 \\ ? ? ? ? ? S o, ? ? t h e ? ? r e q u i r e d ? ? e q u a t i o n ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) ? 1 (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? 3 y ? 4 x + 5 y + 2 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x + 2 y + 2 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ? 1 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? H e n c e, ? ? (a) ? (i i i) \\ (b) E q u a t i o n ? ? o f ? ? a n y ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? t h e ? ? point ? ? o f ? ? intersection ? ? o f ? ? t h e ? ? l i n e \\ ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? a n d ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? (2 + 4 k) x + (? 3 ? 5 k) y ? 2 k = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e = \frac{? (2 + 4 k)}{? 3 ? 5 k} = \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e ? ? o f ? ? t h e ? ? g i v e n ? ? l i n e ? ? x + 2 y + 1 = 0 ? ? i s ? ? ? \frac{1}{2} . \\ ? ? ? ? ? ? ? ? I f ? ? t h e y ? ? a r e ? ? p e r p e n d i c u l a r ? ? t o ? ? e a c h ? ? o t h e r ? ? t h e n \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{1}{2} (\frac{2 + 4 k}{3 + 5 k}) = ? 1 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{1 + 2 k}{3 + 5 k} = 1 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 + 2 k = 3 + 5 k \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 k = ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = \frac{? 2}{3} \\ ? ? ? ? ? ? P u t t i n g ? ? t h e ? ? v a l u e ? ? o f ? ? k ? ? i n ? ? e q n . (i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) ? \frac{2}{3} (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 x ? 9 y ? 8 x + 10 y + 4 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x + y + 4 = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? y = 4 \\ ? ? ? ? ? ? H e n c e, ? ? (b) ? (i) \end{array}$

$\begin{array}{l} (c) G i v e n ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? 2 x ? 3 y = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i) \\ ? ? ? ? ? ? ? a n d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 x ? 5 y = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \dots (i i) \\ ? ? ? ? ? ? E q u a t i o n s ? ? o f ? ? l i n e ? ? passing ? ? t h r o u g h ? ? e q n . (i) ? ? a n d ? ? (i i) ? ? w e ? ? g e t \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y) + k (4 x ? 5 y ? 2) = 0 \\ ? ? ? ? ? (2 + 4 k) x + (? 3 ? 5 k) y ? 2 k = 0 \\ ? ? ? ? ? ? ? S l o p e = \frac{? (2 + 4 k)}{? 3 ? 5 k} = \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? S l o p e ? ? o f ? ? t h e ? ? g i v e n ? ? l i n e ? ? 3 x ? 4 y + 5 = 0 ? ? i s ? ? \frac{3}{4} . \\ ? ? ? ? ? ? ? ? I f ? ? t h e ? ? t w o ? ? e q u a t i o n s ? ? a r e ? ? p a r a l l e l, ? ? t h e n \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \frac{2 + 4 k}{3 + 5 k} = \frac{3}{4} \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 + 16 k = 9 + 15 k \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 k ? 15 k = 9 ? 8 \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k = 1 \\ ? ? ? ? ? S o, ? ? t h e ? ? r e q u i r e d ? ? e q u a t i o n ? ? o f ? ? l i n e ? ? i s \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 x ? 3 y \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The value of $λ$ i.       Parallel to y-axis is                                                 (i) $λ = - \frac{3}{4}$ ii.    Perpendicular to iii.   passes through (1, 2) is                                            (iii) $λ = - \frac{17}{41}$ iv. parallel to x-axis is                                                  (iv) $λ = 3$ <!-- [if gte msEquation 12]>λ=3

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Asked by Vishal Baghel

S

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} (a) G i v e n ? ? e q u a t i o n i s \\ (2 x + 3 y + 4) + λ (6 x - y + 12) = 0 \\ \Rightarrow (2 + 6 λ) x + (3 - λ) y + 4 + 12 λ = 0 \dots (i) \\ I f e q n . (i) i s p a r a l l e l t o y a x i s, t h e n \\ 3 - λ = 0 \Rightarrow λ = 3 \\ H e n c e, (a) \leftrightarrow (i v) \\ (b) G i v e n ? ? l i n e s a r e \\ (2 x + 3 y + 4) + λ (6 x - y + 12) = 0 \dots (i) \\ \Rightarrow (2 + 6 λ) x + (3 - λ) y + 4 + 12 λ = 0 \\ S l o p e = - (\frac{2 + 6 λ}{3 - λ}) \\ e q u a t i o n i s 7 x + y - 4 = 0 \dots (i i) \\ S l o p e = - 7 \\ I f e q n . (i) a n d e q n . (i i) a r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r \\ ∴ (- 7) [- (\frac{2 + 6 λ}{3 - λ})] = - 1 \\ \Rightarrow \frac{14 + 42 λ}{3 - λ} = - 1 \\ \Rightarrow 14 + 42 λ = - 3 + λ \\ \Rightarrow 42 λ - λ = - 3 - 14 \\ \Rightarrow 41 λ = - 17 \\ \Rightarrow λ = - \frac{17}{41} \\ H e n c e, (b) \leftrightarrow (i i i) \\ (c) G i v e n ? ? e q u a t i o n i s (2 x + 3 y + 4) + λ (6 x - y + 12) = 0 \dots (i) \\ I f e q n . (i) t h r o u g h t h e g i v e n (1, 2) t h e n \\ (2 \times 1 + 3 \times 2 + 4) + λ (6 \times 1 - 2 + 12) = 0 \\ \Rightarrow (2 + 6 + 4) + λ (6 - 2 + 12) = 0 \\ \Rightarrow 12 + 16 λ = 0 \\ \Rightarrow λ = \frac{- 12}{16} = \frac{- 3}{4} \\ H e n c e, (c) \leftrightarrow (i) \\ (d) T h e g i v e n ? ? e q u a t i o n i s (2 x + 3 y + 4) + λ (6 x - y + 12) = 0 \\ \Rightarrow (2 + 6 λ) x + (3 - λ) y + 4 + 12 λ = 0 \dots (i) \\ I f e q n . (i) i s p a r a l l e l t o x a x i s, t h e n \\ 2 + 6 λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{- 1}{3} \\ H e n c e, (d) \leftrightarrow (i i) \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

Match the following:

Column C1                                                            Column C2

(a) The coordinates of the points P and Q on the                                (i) $(3, 1), (– 7, 11)$ <!-- [if gte msEquation 12]>3,1,–7,11
line $x + 5 y = 13$ <!-- [if gte msEquation 12]>x+5y=13
from the line $12 x – 5 y + 26 = 0$ <!-- [if gte msEquation 12]>12x–5y+26=0
(b) The coordinates of the point on the                                                 (ii) $(3, 1), (– 7, 11)$ <!-- [if gte msEquation 12]>3,1,–7,11
line $x + y = 4$ <!-- [if gte msEquation 12]>x+y=4
from the line $4 x + 3 y – 10 = 0$ <!-- [if gte msEquation 12]>4x+3y–10=0
(c) The coordinates of the point on the line                                         (iii) $(\frac{12}{5}, \frac{16}{5}), (1, – 3)$ <!-- [if gte msEquation 12]>125,165,1,–3
joining A(–2, 5) and B(3, 1) such that

<!-- [if gte msEquation 12]>AP=PQ=QB $A P = P Q = Q B$ are

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Asked by Vishal Baghel

S

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} (a) L e t P (x_{1}, y_{1}) b e a n y o n t h e g i v e n l i n e \\ x + 5 y = 13 ∴ x_{1} + 5 y_{1} = 13 \\ o f l i n e 12 x - 5 y + 26 = 0 f r o m t h e (x_{1}, y_{1}) \\ 2 = | \frac{12 x_{1} - 5 y_{1} + 26}{\sqrt[]{{(12)}^{2} + {(- 5)}^{2}}} | \Rightarrow 2 = | \frac{12 x_{1} - (13 - x_{1}) + 26}{13} | \\ \Rightarrow 2 = | \frac{12 x_{1} - 13 + x_{1} + 26}{13} | \Rightarrow 2 = | \frac{13 x_{1} + 13}{13} | \\ \Rightarrow 2 = \pm (x_{1} + 1) \\ \Rightarrow 2 = x_{1} + 1 \Rightarrow x_{1} = 1 (T a k i n g (+) s i g n) \\ a n d 2 = - x_{1} - 1 \Rightarrow x_{1} = - 3 (T a k i n g (-) s i g n) \\ P u t t i n g t h e v a l u e o f x_{1} i n e q n . x_{1} + 5 y_{1} = 13 \\ W e g e t y_{1} = \frac{12}{5} a n d \frac{16}{5} \\ S o, t h e r e q u i r e d a r e (1, \frac{12}{5}) a n d (- 3, \frac{16}{5}) . \\ H e n c e, (a) \leftrightarrow (i i i) \\ (b) L e t P (x_{1}, y_{1}) b e a n y o n t h e g i v e n l i n e \\ x + y = 4 ∴ x_{1} + y_{1} = 4 \dots (i) \\ o f l i n e 4 x + 3 y - 10 = 0 f r o m t h e (x_{1}, y_{1}) \\ 1 = | \frac{4 x_{1} + 3 y_{1} - 10}{\sqrt[]{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}} | \Rightarrow 1 = | \frac{4 x_{1} + 3 (4 - x_{1}) - 10}{5} | \\ \Rightarrow 1 = | \frac{4 x_{1} + 12 - 3 x_{1} - 10}{5} | \Rightarrow 1 = | \frac{x_{1} + 2}{5} | \\ \Rightarrow 1 = \pm (\frac{x_{1} + 2}{5}) \\ \Rightarrow \frac{x_{1} + 2}{5} = 1 (T a k i n g (+) s i g n) \\ \Rightarrow x_{1} + 2 = 5 \Rightarrow x_{1} = 3 \\ a n d \frac{x_{1} + 2}{5} = - 1 (T a k i n g (-) s i g n) \\ \Rightarrow x_{1} + 2 = - 5 \Rightarrow x_{1} = - 7 \\ P u t t i n g t h e v a l u e o f x_{1} i n e q n . (i) w e g e t \\ A t x_{1} = 3, y_{1} = 1 \\ A t x_{1} = - 7, y_{1} = 11 \\ S o, t h e r e q u i r e d a r e (3, 1) a n d (- 7, 11) . \\ H e n c e, (b) \leftrightarrow (i) . \end{array}$

$\begin{array}{l} (c) G i v e n t h a t A P = P Q = Q B \\ E q u a t i o n o f l i n e j o i n i n g A (- 2, 5) a n d B (3, 1) i s \\ y - 5 = \frac{1 - 5}{3 + 2} (x + 2) \\ \Rightarrow y - 5 = \frac{- 4}{5} (x + 2) \\ \Rightarrow 5 y - 25 = - 4 x - 8 \\ \Rightarrow 4 x + 5 y - 17 = 0 \\ L e t P (x_{1}, y_{1}) a n d Q (x_{2}, y_{2}) b e a n y t w o points o n t h e l i n e A B \\ P (x_{1}, y_{1}) d i v i d e s t h e l i n e A B i n t h e r a t i o 1 : 2 \\ ∴ x_{1} = \frac{1.3 + 2 (- 2)}{1 + 2} = \frac{3 - 4}{3} = \frac{- 1}{3} \\ y_{1} = \frac{1.1 + 2.5}{1 + 2} = \frac{1 + 10}{3} = \frac{11}{3} \\ S o, t h e c o o r d i n a t e s o f P (x_{1}, y_{1}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{11}{3}) . \\ N o w point Q (x_{2}, y_{2}) i s t h e m i d -point o f P B \\ ∴ x_{2} = \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{4}{3} \\ y_{2} = \frac{1 + \frac{11}{3}}{2} = \frac{7}{3} \\ H e n c e, t h e c o o r d i n a t e s o f Q (x_{2}, y_{2}) = (\frac{4}{3}, \frac{7}{3}) . \\ H e n c e, (c) \leftrightarrow (i i) . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The line joining the points (3, –4) and (–2, 6) is perpendicular to the line joining the points (–3, 6) and (9, –18).

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} T h e g i v e n a r e (3, - 4) a n d (- 2, 6), (- 3, 6) a n d (9, - 18) . \\ S l o p e o f t h e l i n e j o i n i n g t h e (3, - 4) a n d (- 2, 6) \\ m_{1} = \frac{6 + 4}{- 2 - 3} = \frac{10}{- 5} = - 2 \\ S l o p e o f t h e l i n e j o i n i n g t h e (- 3, 6) a n d (9, - 18) \\ m_{2} = \frac{- 18 - 6}{9 + 3} = \frac{- 24}{12} = - 2 \\ S i n c e m_{1} = m_{2} = - 2 \\ S o, t h e l i n e s a r e p a r a l l e l a n d n o t p e r p e n d i c u l a r . \\ H e n c e t h e g i v e n s t a t e m e n t i s F a l s e . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The lines $a x + 2 y + 1 = 0, b x + 3 y + 1 = 0,$ and $c x + 4 y + 1 = 0$ are concurrent if a, b, c are in G.P.

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} G i v e n e q u a t i o n s a r e \\ a x + 2 y + 1 = 0 \dots (i) \\ b x + 3 y + 1 = 0 \dots (i i) \\ c x + 4 y + 1 = 0 \dots (i i i) \\ S o l v i n g e q n . (i) a n d (i i) w e g e t \\ a x + 2 y + 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{- a x - 1}{2} \\ P u t t i n g t h e v a l u e o f y i n e q n . (i i) w e h a v e \\ b x + 3 (\frac{- a x - 1}{2}) + 1 = 0 \\ \Rightarrow 2 b x - 3 a x - 3 + 2 = 0 \\ \Rightarrow (2 b - 3 a) x = 1 \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 b - 3 a} \\ ∴ y = \frac{- a (\frac{1}{2 b - 3 a}) - 1}{2} \\ = \frac{- a - 2 b + 3 a}{2 (2 b - 3 a)} = \frac{2 a - 2 b}{2 (2 b - 3 a)} = \frac{a - b}{2 b - 3 a} \\ S o, t h e o f o f e q n . (i) a n d (i i) i s \\ (\frac{1}{2 b - 3 a}, \frac{a - b}{2 b - 3 a}) \\ I f e q n . (i), (i i) a n d (i i i) a r e c o n c u r r e n t, t h e n t h e a b o v e m u s t l i e o n e q n . (i i i) \\ c x + 4 y + 1 = 0 \\ \Rightarrow c [\frac{1}{2 b - 3 a}] + 4 [\frac{a - b}{2 b - 3 a}] + 1 = 0 \\ \Rightarrow \frac{c + 4 a - 4 b + 2 b - 3 a}{2 b - 3 a} = 0 \\ \Rightarrow c + a - 2 b = 0 \\ \Rightarrow 2 b = a + c \\ S o, a, b a n d c a r e i n A . P . a n d n o t i n G . P . \\ H e n c e t h e g i v e n s t a t e m e n t i s F a l s e . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The line $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ moves in such a way that $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$ , where c is a constant. The locus of the foot of the perpendicular from the origin on the given line is $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ .

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} T h e g i v e n e q u a t i o n i s \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \dots (i) \\ E q u a t i o n o f l i n e t h r o u g h t h e (0, 0) a n d p e r p e n d i c u l a r t o e q n . (i) i s \\ \frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 0 \dots (i i) \\ S q u a r i n g a n d a d d i n g e q n . (i) a n d (i i) w e g e t \\ {(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})}^{2} + {(\frac{x}{b} - \frac{y}{a})}^{2} = 1 + 0 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{2 x y}{a b} + \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{2 x y}{a b} = 1 \\ \Rightarrow x^{2} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + y^{2} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}}) = 1 \\ \Rightarrow (x^{2} + y^{2}) (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) = 1 \\ \Rightarrow (x^{2} + y^{2}) (\frac{1}{c^{2}}) = 1 [? \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}] \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = c^{2} \\ H e n c e t h e g i v e n s t a t e m e n t i s T r u e . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The equation of the line joining the point (3, 5) to the point of intersection of the lines 4x + y – 1 = 0 and 7x – 3y – 35 = 0 is equidistant from the points (0, 0) and (8, 34).

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} G i v e n e q u a t i o n s a r e \\ 4 x + y - 1 = 0 \dots (i) \\ a n d 7 x - 3 y - 35 = 0 \dots (i i) \\ F r o m e q n . (i) y = 1 - 4 x \dots (i i i) \\ P u t t i n g t h e v a l u e o f y i n e q n . (i i) w e g e t \\ 7 x - 3 (1 - 4 x) - 35 = 0 \\ \Rightarrow 7 x - 3 + 12 x - 35 = 0 \\ \Rightarrow 19 x - 38 = 0 \\ \Rightarrow x = 2 \\ F r o m e q n . (i i i) y = 1 - 4 \times 2 \Rightarrow y = - 7 \\ T h e o f i s (2, - 7) . \\ E q u a t i o n o f l i n e j o i n i n g t h e (3, 5) t o t h e (2, - 7) i s \\ y - 5 = \frac{- 7 - 5}{2 - 3} (x - 3) \\ \Rightarrow y - 5 = 12 (x - 3) \\ \Rightarrow y - 5 = 12 x - 36 \\ \Rightarrow 12 x - y - 31 = 0 \dots (i v) \\ o f e q n . (i v) f r o m t h e (0, 0) = | \frac{- 31}{\sqrt[]{{(12)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} | = \frac{31}{\sqrt[]{145}} \\ o f e q n . (i v) f r o m t h e (8, 34) = | \frac{12 \times 8 - 34 - 31}{\sqrt[]{{(12)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} | = | \frac{96 - 65}{\sqrt[]{145}} | = \frac{31}{\sqrt[]{145}} \\ H e n c e t h e g i v e n s t a t e m e n t i s T r u e . \end{array}$

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Exemplar Solution Class 11th

The vertex of an equilateral triangle is (2, 3) and the equation of the opposite side is x + y = 2. Then the other two sides are $y – 3 = (2 \pm \sqrt[]{3}) (x – 2)$ .

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a year ago

This is a True or False Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} L e t A B C b e a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h v e r t e x (2, 3) a n d t h e o p p o s i t e s i d e i s x + y = 2 \\ w i t h s l o p e - 1 . S u p p o s e s l o p e o f l i n e A B i s m . \\ e a c h a n g l e o f e q u i l a t e r a l t r i a n g l e i s 6 0^{0} . \\ ∴ A n g l e b e t w e e n A B a n d B C \\ t a n 6 0^{0} = | \frac{- 1 - m}{1 + (- 1) m} | \\ \Rightarrow \sqrt[]{3} = | \frac{1 + m}{1 - m} | \\ \Rightarrow \sqrt[]{3} = \pm (\frac{1 + m}{1 - m}) \\ T a k i n g (+) s i g n \\ \Rightarrow \sqrt[]{3} = \frac{1 + m}{1 - m} \Rightarrow \sqrt[]{3} - \sqrt[]{3} m = 1 + m \\ \Rightarrow \sqrt[]{3} m + m = \sqrt[]{3} - 1 \Rightarrow m (\sqrt[]{3} + 1) = \sqrt[]{3} - 1 \\ \Rightarrow m = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[]{3} + 1} \Rightarrow m = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[]{3} + 1} \times \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[]{3} - 1} \\ \Rightarrow m = \frac{3 + 1 - 2 \sqrt[]{3}}{3 - 1} = 2 - \sqrt[]{3} \\ T a k i n g (-) s i g n \\ \Rightarrow \sqrt[]{3} = - (\frac{1 + m}{1 - m}) \Rightarrow \sqrt[]{3} - \sqrt[]{3} m = - 1 - m \\ \Rightarrow - \sqrt[]{3} m + m = - 1 - \sqrt[]{3} \Rightarrow m (- \sqrt[]{3} + 1) = - 1 - \sqrt[]{3} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1 - \sqrt[]{3}}{1 - \sqrt[]{3}} \Rightarrow m = \frac{- 1 - \sqrt[]{3}}{1 - \sqrt[]{3}} \times \frac{1 + \sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1 - \sqrt[]{3} - \sqrt[]{3} - 3}{1 - 3} = \frac{- 4 - 2 \sqrt[]{3}}{- 2} = \frac{- 2 (2 + \sqrt[]{3})}{- 2} = 2 + \sqrt[]{3} \\ S o, t h e e q u a t i o n s o f o t h e r t w o l i n e s a r e \\ y - 3 = (2 \pm \sqrt[]{3}) (x - 2) \\ H e n c e, t h e g i v e n s t a t e m e n t i s T r u e . \end{array}$

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**If the letters of the word ALGORITHM are arranged at random in a row, what is the probability that the letters GOR must remain together as a unit?**

The line joining the points (3, –4) and (–2, 6) is perpendicular to the line joining the points (–3, 6) and (9, –18).

The lines $a x + 2 y + 1 = 0, b x + 3 y + 1 = 0,$ and $c x + 4 y + 1 = 0$ are concurrent if a, b, c are in G.P.

The line $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ moves in such a way that $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$ , where c is a constant. The locus of the foot of the perpendicular from the origin on the given line is $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ .

The equation of the line joining the point (3, 5) to the point of intersection of the lines 4x + y – 1 = 0 and 7x – 3y – 35 = 0 is equidistant from the points (0, 0) and (8, 34).

The vertex of an equilateral triangle is (2, 3) and the equation of the opposite side is x + y = 2. Then the other two sides are $y – 3 = (2 \pm \sqrt[]{3}) (x – 2)$ .